Q1. サーバーというものがそもそも何かわからないのですが?
Q2. 利用環境に「PHP5以上、MySQL4以上」とありますが、何のことかさっぱりわかりません。
Q3. 「FTPクライアント(サーバーへファイルをアップするソフト)」と言われてもどういうものかイメージできません。もう少しだけ教えてもらえませんでしょうか?
Q4. 初心者でも設置できますか?
Q5. 維持費がかかるのは辛いのですが、無料サーバーでは絶対に無理でしょうか?
Q6. A社の○○サーバーを使っているのでそこに設置したいのですが、そのサーバーが使えるかどうかをどうやって確かめればいいですか?
まずはそのA社のサポートに連絡し、「メールを受信した際に、それをPHPなどのプログラムファイルに渡し、自動的にプログラムを実行させることができますか?」のような質問をしてみて下さい。
もし意味が伝わりにくければ、空メールのシステムを例にあげて説明して下さい。
空メールの仕組みは、「指定アドレスにメールが届くと、それだけ任意のプログラムに渡され、プログラムがメール文を作成して送信者にメールを送り返す」というものですから、そういうものを設置したいと言えば伝わるはずです。

もちろん、できないと言われてしまえばそれまでです。
もし、できるという事ならそのやり方を具体的に教えてもらって下さい。「できると思うがサポート対象外(教えられない)」というケースもあるかと思います。
「できるという回答をもらった」且つ「あなたがその具体的な方法をマスターできた」という場合のみ、今お使いのサーバーで使える可能性が高いとお考え下さい。
それさえできれば「PHPのバージョン5以上+MySQLのバージョン4以上」の環境で動作するはずですが、当方で試してもいないのにできるとは申し上げられません。
テスト用のプログラムくらいなら差し上げることは可能ですので、それは一通りの確認ができた段階でご相談頂ければと思います。

Q7. エックスサーバーにしなければサポートもしてもらえないのですね? それが不満なのですが・・・
Q8. すでにエックスサーバーのユーザーなのですが、PHPのバージョンは4.**になっています。今のまま設置することはできますか?
Q9. liteバージョンに『取引ナビ エクスプローラー premium』を付けて頂くことはできませんか?
Q10. 『取引ナビ エクスプローラー premium』には投稿機能まで付いているようですがそれはなぜですか?
Q11. 後でアップグレードしたくなった場合は買い直さなければならないでしょうか?
Q12. 『取引ナビ メッセンジャー 標準版』に付属する「メール投稿機能」を使えば、出先から携帯で手軽に返信投稿できるということでしょうか?
Q13. 通知先のメールアドレスは何個まで設定できますか?
Q14. スマートフォンは持ってないのですが、それだと不便でしょうか?
Q15. 別料金で独自のソフトを製作して頂くことはできますでしょうか?